업성고1
공통수학2 시험분석조건을 정확히 읽고,
준비한 개념을 끝까지 연결하는 힘

A={1,2,3,4,5}는 서로 다른 원소 다섯 개를 갖습니다. n(A)=5입니다.

점검할 부분 · 원소 자체와 원소의 개수를 구분합니다.

9의 약수, 10보다 작은 홀수, 우리 학교 1학년 학생은 포함 여부를 객관적으로 판단할 수 있습니다. 반면 ‘큰 수’, ‘인기 있는 선수’는 기준이 명확하지 않습니다.

점검할 부분 · 유한·무한 여부가 아니라 포함 기준이 명확한지를 판단합니다.

원점에 대한 대칭은 (x,y)→(−x,−y)입니다. (−1,−2)의 두 부호를 모두 바꾸면 (1,2)입니다.

점검할 부분 · 원점 대칭과 x축·y축 대칭을 섞지 않습니다.

원래 직선 x−4y−1=0에 x 대신 x−1, y 대신 y−2를 대입합니다. (x−1)−4(y−2)−1=0을 정리하면 x−4y+6=0입니다.

점검할 부분 · 점의 이동과 방정식 대입의 부호가 반대가 되는 이유를 확인합니다.

주어진 직선과 평행하므로 기울기는 2입니다. 점 (3,4)를 대입해 4=2·3+b에서 b=−2를 얻습니다.

점검할 부분 · 기울기를 정한 다음 반드시 주어진 점을 대입합니다.

접선을 y=√3x+k로 놓습니다. 중심 (0,0)에서 직선까지의 거리는 |k|/2이므로 반지름 2와 같게 두면 k=±4입니다.

점검할 부분 · 반지름의 제곱 4를 반지름 4로 읽지 않습니다.

세 꼭짓점 A(2,3), B(4,1), C(3,2)의 무게중심은 G(3,2)입니다. 2x−y+k=0에 대입하면 6−2+k=0, k=−4입니다.

점검할 부분 · 세 좌표를 각각 평균 내고, 마지막에 직선 조건을 적용합니다.

거리 식은 |12−k|/5=2입니다. 12−k=10 또는 −10이므로 k=2,22이고 합은 24입니다.

점검할 부분 · 양수 쪽 한 경우만 풀고 끝내면 안 됩니다.

원의 중심은 (3,4), 반지름은 √2입니다. 교점이 두 개이려면 중심에서 x+y+a=0까지의 거리 |7+a|/√2가 √2보다 작아야 합니다. |7+a|<2에서 −9

점검할 부분 · 등호는 접점 하나인 경우이므로 제외합니다.

n(A∪B)=15+6−5=16입니다. Aᶜ∩Bᶜ=(A∪B)ᶜ이므로 원소 수는 30−16=14입니다.

점검할 부분 · 여집합 기호를 보고 어떤 영역의 바깥인지 먼저 표시합니다.

분배법칙으로 24의 배수 또는 30의 배수를 셉니다. 200 이하에서 각각 8개와 6개이며, 120의 배수 1개가 중복되어 8+6−1=13입니다.

점검할 부분 · 공통 배수의 집합은 최소공배수의 배수입니다.

A의 y=x 대칭점 A′(4,5), B의 y축 대칭점 B′(−2,−3)을 연결합니다. A′B′=10이고 D(1,1), C(0,−1/3)이 경계 위에 순서대로 놓이므로 그 길이를 실제 경로로 만들 수 있습니다.

점검할 부분 · 최솟값의 하한과 그 하한이 실현되는 조건을 함께 확인합니다.

A∩X=∅, B∪X=B는 X⊆B−A를 뜻합니다. B−A={9,15,18}의 세 원소를 넣거나 빼는 선택이므로 2³=8개입니다.

점검할 부분 · 공집합을 포함하며, A와 B를 반대로 빼지 않습니다.

A₇₅={2,4,6,8,10,12,14}입니다. Aₙ에 다음 짝수 16이 들어오지 않으려면 √(3n)<16, 즉 n<256/3이어야 합니다. 자연수 n의 최댓값은 85입니다.

점검할 부분 · √(3n)≤15로 제한하면 15보다 크고 16보다 작은 구간을 놓칩니다.

교집합은 적어도 30+25−50=5명이므로 m=5입니다. 합집합은 적어도 30명이고 B⊆A일 때 가능하므로 n=30입니다. 합은 35입니다.

점검할 부분 · 두 최솟값이 같은 배치에서 동시에 생기는 것은 아닙니다.

b×e가 홀수이므로 b,e는 모두 홀수입니다. a

점검할 부분 · 홀수 조건은 b와 e에 걸립니다. 문자를 잘못 읽거나 부등식의 등호를 포함하면 경우의 수가 바뀝니다.

직선 y=(4/3)x와 원 x²+y²=1의 교점은 P₊(3/5,4/5), P₋(−3/5,−4/5)입니다. 원 (x−a)²+y²=a²은 원점을 지나므로, 이 원과 직선의 교점은 O와 Q(18a/25,24a/25)입니다.

a>0이므로 Q는 제1사분면에 놓이고 O는 첫 번째 원 위에 없습니다. 합집합의 원소 수가 3이려면 네 교점 중 한 점만 같아야 하므로 Q=P₊입니다.

18a/25=3/5에서 a=5/6입니다. 이때 Q=P₊이고 나머지 두 점 O,P₋는 서로 달라 합집합의 원소가 정확히 세 개입니다.

지도 포인트 · 교점을 무작정 네 개 나열하기보다 원점이 항상 포함된다는 점과 a의 양수 조건을 먼저 사용합니다.

두 원의 중심은 O₁(−6,0), O₂(0,6), 반지름은 각각 6과 2입니다. 먼저 a>2 조건으로 어떤 공통접선 두 개를 선택하는지 확인해야 합니다.

P(a,b)를 지나는 직선을 y−b=m(x−a)로 두면 접선 조건은 (a²+12a)m²−2b(a+6)m+b²−36=0, (a²−4)m²−2a(b−6)m+(b−6)²−4=0입니다. 두 기울기가 두 방정식의 공통된 두 근이므로 계수는 비례합니다. a>2, b>0에서 두 이차항 계수는 양수이고 첫 번째 일차항 계수는 음수이므로 b>6입니다.

이때 두 중심은 P의 왼쪽 아래에 있습니다. 각각 같은 두 접선의 각 이등분선 위에 놓이고 서로 다른 각 이등분선은 수직이므로, 두 중심은 같은 방향의 이등분선 위에 있어야 합니다. 따라서 P,O₁,O₂는 일직선이고, 접선까지의 거리 비로 PO₁:PO₂=3:1입니다.

같은 쪽에서 닮은 중심인 외분점은 P=3O₂/2−O₁/2=(3,9)입니다. 두 원 사이의 내분점은 (−3/2,9/2)로 제1사분면 조건에 맞지 않습니다. 따라서 a=3, b=9입니다.

접선 y−9=m(x−3)을 첫 번째 원에 적용하면 |−9m+9|/√(m²+1)=6입니다. 제곱해 정리하면 5m²−18m+5=0이고, 두 기울기의 곱 c는 5/5=1입니다. 따라서 abc=3·9·1=27입니다.

지도 포인트 · 두 접선을 각각 구하기보다 중심과 반지름의 비로 P를 정하고, 기울기는 이차방정식의 근의 곱으로 처리할 수 있습니다.

선분 AB를 1:2로 내분하므로 P=( (1·7+2·1)/(1+2), (1·5+2·2)/(1+2) )입니다.

두 좌표를 계산하면 (9/3,9/3)=(3,3)입니다.

학교 채점표는 위와 같이 수치를 대입한 좌표식을 쓴 경우 3점, (3,3)을 쓴 경우 1점을 제시했습니다. 최종 답뿐 아니라 대입식을 남기는 것이 중요합니다.

지도 포인트 · 내분비와 끝점에 곱하는 계수가 교차한다는 점을 명확히 적습니다.

두 직선과 x=1의 교점을 A(1,m), B(1,m′)으로 둡니다. 원점 O에서 만나는 두 직선이 수직이므로 삼각형 OAB는 O에서 직각입니다.

피타고라스 정리에 따라 OA²+OB²=AB²입니다. 좌표로 쓰면 (1+m²)+(1+m′²)=(m−m′)²입니다.

정리하면 2=−2mm′이므로 mm′=−1입니다. 이 문제에서는 수직 조건의 결론을 곧바로 쓰는 것보다 그 관계를 설명하는 풀이가 필요합니다.

학교 채점표: A(1,m), B(1,m′) 설정 2점 / 직각삼각형 설명 1점 / 피타고라스 관계를 구체적인 식으로 쓰기 1점 / mm′=−1 도출 1점.

지도 포인트 · 공식을 아는 것과 그 공식이 성립하는 이유를 설명하는 것은 별도의 준비가 필요합니다.

원의 중심은 O(−4,3), 반지름은 5입니다. A(−1,7), B(−4,8)에서 밑변 AB의 길이는 √10이고 직선 AB는 x+3y−20=0입니다.

중심 O와 직선 AB 사이의 거리는 |−4+9−20|/√10=15/√10입니다. 원 위의 P에서 AB까지의 최대 거리는 중심에서 AB의 반대쪽으로 반지름만큼 더 나갈 때의 5+15/√10입니다.

따라서 최대 넓이는 (1/2)·√10·(5+15/√10)=(15+5√10)/2입니다.

최대 높이를 만드는 점은 AB에 수직인 중심 통과 직선과 원의 교점 중 AB에서 더 먼 점이므로, 이 최대 높이는 실제로 실현됩니다.

지도 포인트 · 원의 중심에서 밑변까지의 거리와 반지름을 구분합니다. 넓이의 최댓값은 밑변을 고정하고 높이를 최대로 만드는 문제입니다.

원의 중심을 (a,b)라 하면 직선 y=3x 위이므로 b=3a입니다. 원의 방정식은 (x−a)²+(y−b)²=9입니다.

y=0을 대입하면 두 교점의 x좌표 α,β는 x²−2ax+(a²+b²−9)=0의 두 근입니다. 따라서 α+β=2a, αβ=a²+b²−9입니다.

α²+β²=(α+β)²−2αβ=2a²−2b²+18=10이므로 b²−a²=4입니다. b=3a를 넣으면 8a²=4, a²=1/2입니다.

ab=3a²=3/2입니다. 이때 b²=9/2<9여서 원과 x축은 실제로 서로 다른 두 점에서 만나므로 문제의 교점 조건도 만족합니다.

지도 포인트 · 교점 좌표를 각각 구하지 않고 두 근의 합과 곱으로 제곱의 합을 표현합니다. α²+β²를 (α+β)²와 혼동하지 않습니다.