삼각비: 길이와 넓이 찾기
직각삼각형의 변의 비와 특수각의 값을 확인하고, 사다리·나무 높이·삼각형 및 사각형 넓이에 적용했습니다. 13번은 첨성대를 올려다보는 각도와 학생의 눈높이를 함께 제시했습니다.
23문항모두 선택형
14문항 · 58점1~14번 · 삼각비 중심
9문항 · 42점15~23번 · 원 중심
01 / 시험 구성
삼각비 14문항, 원의 성질 9문항
1~14번은 삼각비의 값, 길이·높이, 도형의 넓이를 중심으로 출제됐습니다. 15~23번은 반원, 현, 접선, 내접원을 다뤘습니다. 앞부분의 직접 계산에서 뒷부분의 여러 도형 성질을 연결하는 문제로 이동하는 구성이 확인됩니다.
문항 구성의 변화: 삼각비의 값 확인 → 길이·넓이에 적용 → 원의 성질을 이용한 복합 도형.
대조 대상은 제공된 포레스트 핵심개념 정리·내신 대비 학습자료·유형별 실전문제입니다. 다음 사례는 문제의 조건·수치·풀이 원리 중 무엇이 연결되는지 구분한 결과입니다.
02 / 출제 영역
시험 범위와 문항 분포
문항 번호를 주된 소재로 묶었습니다. 15번처럼 삼각비와 원의 내용이 함께 쓰인 문제도 있습니다.
원: 보이지 않는 길이 연결하기
원의 중심과 현의 거리, 접선의 길이, 원에 외접하는 도형을 출제했습니다. 23번은 접선의 성질을 이용한 변의 길이 관계를 넓이 계산에 연결했습니다.
03 / 출제 개념
문제 속 길이는 왜 그렇게 연결될까요?
학부모가 문항을 읽을 때 필요한 관계를 그림에서 먼저 짚었습니다. 그림은 원리를 설명하는 개념도이며, 실제 시험의 수치와 계산은 각 카드 마지막에 구분해 적었습니다.
올려다보는 각도로 높이를 구하는 까닭
같은 지점에서 건물을 올려다볼 때 각도가 정해지면, 가로로 떨어진 거리와 위로 올라간 높이의 비도 정해집니다. 이 비를 탄젠트라고 부릅니다.
그래서 13번은tan 35°가 0.7이므로 높이 차이는 10 × 0.7 = 7m입니다. 여기에 문제에서 준 학생의 키 1.6m를 더해 첨성대의 높이 8.6m를 구합니다.
원 한가운데서 현까지의 거리
현은 원 둘레의 두 점을 잇는 선입니다. 중심에서 현에 직각으로 선을 내리면 양쪽에 크기가 같은 직각삼각형이 생겨 현이 정확히 반으로 나뉩니다.
시험에서의 역할16~19·21번에는 중심에서 선까지의 거리나 현의 길이를 읽는 조건이 등장합니다. 문항마다 도형과 물음이 달라, 개별 풀이에서는 주어진 현과 수선을 각각 확인해야 합니다.
한 꼭짓점에서 원에 닿는 두 길이
원 밖의 한 점에서 원에 닿는 두 선을 그으면, 두 접점까지의 길이가 같습니다. 접점에서 반지름과 접선이 직각을 이루고, 양쪽 직각삼각형은 같은 빗변과 반지름을 갖기 때문입니다.
그래서 20번은BD가 11cm이면 B에서 다른 접점까지도 11cm입니다. 이를 AB=21cm, BC=17cm에서 각각 빼면 남은 길이 10cm와 6cm가 AC로 이어집니다.
원에 닿는 사각형에서 변의 합
네 변이 원에 닿는 사각형은 각 꼭짓점에서 접점까지 이어지는 두 짧은 선분이 서로 같습니다. 이를 네 꼭짓점에서 모두 짝지으면 마주 보는 두 변의 합이 같아집니다.
그래서 23번은원의 반지름 3cm로 두 평행변 사이 높이 6cm를 얻습니다. 평행변의 합은 12 + 6 = 18cm이므로 넓이는 18 × 6 ÷ 2 = 54cm²입니다.
04 / 자료 대조
학원 대비 자료와 실제 시험 문항 비교
수치와 풀이 구조가 유사한 경우와 같은 개념을 다른 도형에 적용한 경우를 구분했습니다. 학원 자료는 제공된 PDF의 실제 문제 이미지입니다. 학교 문제는 학생 필기가 인쇄 내용에 겹쳐 있어 글과 도형을 대조한 뒤 재제작했습니다.
시험 13번 ↔ 교과서 연계 자료 (2) 2번
13번: 측정 대상과 각도가 바뀌었습니다
학원 교과서 연계 자료 (2) 2번은 나무, 실제 시험 13번은 첨성대의 높이를 묻습니다. 두 문항은 측정 대상에서 10m 떨어진 지점과 눈높이 1.6m를 조건으로 사용합니다. 학원 자료의 각도는 36°, 학교 시험의 각도는 35°입니다.
두 문항 모두 눈높이를 기준으로 계산한 높이에 1.6m를 더해 전체 높이를 구합니다. 수학적 구조와 계산 순서가 일치하고, 측정 대상과 각도가 달라졌습니다.
연결 정도 · 상황과 수치가 매우 가까움시험에서 확인된 결과: 거리·눈높이·풀이 순서가 유지되고 측정 대상이 나무에서 첨성대로, 각도는 36°에서 35°로 바뀌었습니다.
학교 실제 시험 · 13번학생 필기를 제외하고 인쇄 내용을 재제작
13. 첨성대에서 10 m 떨어진 지점에서 첨성대의 높이를 올려다본 각은 35°이다. 학생의 키가 1.6 m일 때 첨성대의 높이를 구하면? (tan 35°=0.7)
① 1.6 ② 7 ③ 8.6 ④ 16.7 ⑤ 17
학원 실제 대비 자료사용한 PDF의 문제 이미지
실제 시험 13번 · 계산 과정
- 눈높이에서 첨성대 꼭대기까지의 높이 차이는 10 × tan 35° = 10 × 0.7 = 7m입니다.
- 지면부터의 전체 높이는 눈높이 1.6m를 더한 8.6m입니다. 선택지는 ③입니다.
- 학원 자료도 같은 10m와 1.6m를 사용하지만 각도가 36°이고 대상이 나무입니다.
EXAM 16–19, 21 · 현설명을 위한 재구성 그림
시험 16~19·21번 ↔ 교과서 연계 자료 (3) 6·10·11번
16~19·21번: 현과 중심의 관계가 반복 출제됐습니다
원 위의 두 점을 이은 선분인 현을 이용하는 문제가 16~19번과 21번에 배치됐습니다. 교과서 연계 자료 (3) 6번은 중심에서 현에 수선을 내려 길이를 구하고, 10·11번은 현과 중심 사이의 같은 거리를 비교합니다.
포레스트 내신 대비 학습자료의 단원 마무리 1번은 반지름 6cm와 중심에서 현까지 거리 2cm를 제시합니다. 실제 시험 21번에도 6cm와 2cm가 등장하지만 선의 배치와 구하는 길이가 달라 동일 문항은 아닙니다.
연결 정도 · 같은 원리, 다른 도형 배치시험에서 확인된 결과: 수선과 현의 길이 관계가 여러 문항에 적용됐으며, 학원 자료와 같은 개념을 다른 배치로 출제했습니다.
시험 20번 ↔ 중간고사 대비 (1) 23번 · 교과서 연계 자료 (3) 16·22번
20번: 내접원에 닿는 선분의 길이 관계
시험 20번은 삼각형의 세 변에 원이 닿을 때, 주어진 두 변과 한 접점의 위치로 나머지 변을 구합니다. 적용하는 성질은 같은 꼭짓점에서 원에 그은 두 접선의 길이가 같다는 것입니다.
학원 중간고사 대비 (1) 23번과 교과서 연계 자료 (3) 16·22번도 접점을 기준으로 변을 나누어 길이를 구합니다. 성질과 풀이 절차는 연결되며, 실제 시험의 길이 조건은 다른 위치에 제시됐습니다.
연결 정도 · 핵심 성질과 풀이 절차가 같음시험에서 확인된 결과: 학원 자료의 접선 길이 성질이 실제 시험의 변 길이 계산에 적용됐습니다.
학교 실제 시험 · 20번학생 필기를 제외하고 인쇄 내용을 재제작
20. 원 O는 △ABC의 내접원이고 D, E, F는 접점이다. AB=21 cm, BC=17 cm, BD=11 cm일 때 AC의 길이는?
① 12 ② 13 ③ 14 ④ 15 ⑤ 16
학원 실제 대비 자료사용한 PDF의 문제 이미지
실제 시험 20번 · 길이 연결
- B에서 원에 닿는 두 선분은 각각 11cm입니다. 따라서 A 쪽 선분은 AB − 11 = 10cm입니다.
- BC의 남은 부분은 17 − 11 = 6cm입니다. A와 C에서도 각각 다른 쪽 접선의 길이가 같습니다.
- AC = 10 + 6 = 16cm이므로 선택지는 ⑤입니다. 학원 문제와 접선 길이를 짝짓는 원리는 같습니다.
시험 23번 ↔ 중간고사 대비 (2) 23번 · 포레스트 유형별 실전문제의 원에 외접하는 사각형 유형
23번: 외접사각형의 성질이 넓이로 확장됐습니다
시험 23번의 사각형은 원에 외접합니다. 반지름은 3cm이므로 평행한 두 변 사이의 높이는 지름인 6cm입니다. 또 원에 외접하는 사각형의 마주 보는 변 길이의 합이 같다는 성질을 사용합니다.
중간고사 대비 (2) 23번과 포레스트 내신 대비 학습자료의 원에 외접하는 사각형 유형은 이 길이 관계를 다룹니다. 실제 시험은 같은 성질로 변의 길이 관계를 정리한 뒤 사각형의 넓이를 구하도록 확장했습니다.
연결 정도 · 배운 성질을 넓이로 확장시험에서 확인된 결과: 학원 대비 자료의 외접사각형 성질이 최종 넓이 계산의 중간 단계로 사용됐습니다.
학교 실제 시험 · 23번학생 필기를 제외하고 인쇄 내용을 재제작
23. 원 O는 □ABCD의 내접원이다. 반지름이 3 cm일 때 □ABCD의 넓이는? (그림에서 AB=12 cm, ∠D=∠C=90°)
① 54 ② 56 ③ 58 ④ 60 ⑤ 62
학원 실제 대비 자료사용한 PDF의 문제 이미지
실제 시험 23번 · 넓이 연결
- 원의 반지름이 3cm이고 위아래 평행한 변에 닿으므로 사다리꼴의 높이는 지름 6cm입니다.
- 마주 보는 변의 합은 같아서 윗변 + 아랫변 = 왼쪽 변 12cm + 오른쪽 변 6cm = 18cm입니다.
- 넓이는 (윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2 = 18 × 6 ÷ 2 = 54cm²로, 선택지는 ①입니다. 학원 대비 문제는 변의 길이 관계를 묻고 학교 시험은 이를 넓이까지 연결했습니다.
수학팀의 판단
대조 결과, 13번은 높이 측정 구조·거리·눈높이·풀이 순서가 일치하고 대상(나무→첨성대)과 각도가 달랐습니다. 원의 문항은 현·접선·외접사각형의 같은 개념을 다른 도형과 조건에 적용하는 형태로 출제됐습니다. 제공된 자료만으로 학생 개인의 정답률이나 점수 향상은 판단하지 않았습니다.
05 / 비교 결과
대비 자료와 출제 문항의 연결 요약
직접적인 조건 유사성과 같은 개념의 변형 출제를 구분한 결과입니다.
13번교과서 연계 자료 (2) 2번: 거리 10m·눈높이 1.6m·풀이 순서가 같고 측정 대상 나무→첨성대, 각도 36°→35°로 변경
16~19·21번교과서 연계 자료 (3) 6·10·11번 및 포레스트 내신 대비 학습자료: 현과 중심의 거리 관계를 다른 도형 배치에 적용
20번중간고사 대비 (1) 23번 및 교과서 연계 자료 (3) 16·22번: 내접원의 접점에서 같은 길이를 찾는 성질 적용
23번중간고사 대비 (2) 23번 및 포레스트 내신 대비 학습자료: 외접사각형의 변 길이 관계를 넓이 계산으로 확장
FOREST EXAM ANALYSIS · 포레스트학원 수학팀시험 문항과 대비 자료를 대조한 결과,
시험 문항과 대비 자료를 대조한 결과,
기본 개념의 적용과 변형 출제가 확인됐습니다.
삼각비는 높이와 넓이 문제로, 원의 성질은 현·접선·외접사각형 문제로 출제됐습니다. 학원 자료의 상황이 가까운 문항과 풀이 원리를 확장한 문항을 구분해 분석했습니다.
분석 자료: 천안성성중학교 2026학년도 2학기 1회 3학년 수학 시험지 5쪽, 제공된 포레스트 내신 대비 학습자료 교과서 연계 자료 3종, 포레스트학원 중간고사 대비 문제 2종, 포레스트 내신 대비 학습자료, 포레스트 내신 대비 학습자료 중3-2. 문항 분류는 주된 소재 기준이며, 학원 자료와 시험 문항의 관계는 문제의 조건과 풀이 원리를 대조한 수학팀의 해석입니다. 학생 필기가 보이는 시험지 사진, 학생 점수, 정답 표시를 게시하거나 공식 정답 자료로 사용하지 않았습니다.