성정중3 수학
원의 성질을 찾고,
조건을 식으로 옮기는 시험

시험 개요

2026년 11월 5일 1교시에 실시된 시험입니다. 앞에서는 삼각비의 정의와 표 읽기, 중간에서는 원주각과 접선, 뒤에서는 여러 조건을 연결하는 문제를 다뤘습니다. 20~24번의 합계는 26점입니다. 배점만으로 실제 정답률을 판단할 수는 없습니다.

자료는 문항과 풀이에 필요한 부분을 발췌했습니다. 교재명·출판사명과 학생 개인정보는 공개하지 않습니다.

처음으로 ↑

시험대비과정

제공된 대비자료를 바탕으로 정리한 학습 순서입니다. 개념 확인에서 시작해 도형과 조건을 바꾼 문제로 옮겨가며, 마지막에 놓치기 쉬운 조건을 다시 확인합니다.

STEP 01

개념과 구분

기준각을 표시하고 이웃한 직각변과 빗변을 구분합니다.

STEP 02

유형별 적용

두 각이 같은 선분을 바라보는지 확인합니다.

STEP 03

실전 연결

접점에서 생기는 직각과 같은 길이의 접선을 식으로 옮깁니다.

STEP 04

약점 재확인

산점도에서 경계선 포함 여부와 상위 인원을 따로 확인합니다.

처음으로 ↑

단원별 분석

실제 출제 내용을 주된 풀이 기준으로 한 번씩 분류했습니다. 8번은 사분원이 그려져 있지만 좌표를 삼각비로 나타내는 문항이므로 삼각비로 분류했습니다.

처음으로 ↑

학원 대비자료와 실제 출제 연결

핵심 풀이가 이어지는 9사례입니다. 왼쪽은 대비자료, 오른쪽은 실제 시험입니다. 연결 사례를 전체 시험의 적중률로 환산하지 않았습니다.

CONNECTION 01 · 같은 풀이 구조

기준각에 붙은 변과 빗변 구분

대비자료

실제 시험 · 1번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

도형 배치와 질문이 가깝습니다. 대비는 변을 문자로 표시했고, 시험은 선분 이름으로 비를 고르게 했습니다.

풀이와 비교의 기준

기준각을 A로 고정하고, BC는 A의 맞은편 변임을 확인합니다.

CONNECTION 02 · 같은 풀이 구조

삼각비 표에서 각도 행과 tan 열 찾기

대비자료

실제 시험 · 3번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

대비의 tan 17°가 시험에서는 tan 62°로 바뀌었습니다. 각도 행과 탄젠트 열의 교차점을 읽는 풀이가 같습니다.

풀이와 비교의 기준

같은 행에서 사인·코사인 열을 잘못 읽기 쉽습니다.

CONNECTION 03 · 도형 구성·개념 연결

단위 사분원에서 좌표 읽기

대비자료

실제 시험 · 8번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

대비는 한 각의 cos에 해당하는 선분을 고릅니다. 시험은 두 각의 여각 관계까지 확인해 x좌표와 y좌표를 순서대로 표현하게 했습니다.

풀이와 비교의 기준

가로 성분을 먼저 적고, 어떤 각을 기준으로 했는지 확인합니다.

CONNECTION 04 · 도형 구성·조건 변형

두 접선과 30°–60°–90° 삼각형

대비자료

실제 시험 · 11번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

대비는 두 접선이 이루는 60°를, 시험은 중심각 120°를 줍니다. 접선 길이 6과 반지름을 연결하는 핵심 풀이가 같습니다. 묻는 값은 다릅니다.

풀이와 비교의 기준

120°는 원의 중심각이고, P의 각은 60°입니다.

CONNECTION 05 · 개념·유형 연결

네 점이 한 원 위에 있는 조건

대비자료

실제 시험 · 15번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

여러 그림에서 같은 선분을 바라보는 각을 만들어 비교합니다. 시험은 성립하는 그림을 모두 골라야 합니다.

풀이와 비교의 기준

각의 크기만 비교하기 전에 두 각이 실제로 같은 선분을 바라보는지 봅니다.

CONNECTION 06 · 개념·유형 연결

편차 표에서 분산 식 세우기

대비자료

실제 시험 · 17번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

대비는 편차 표와 분산에서 ab를, 시험은 편차 표와 표준편차에서 a²+b²를 구합니다. 시험에서는 √6을 먼저 제곱합니다.

풀이와 비교의 기준

편차의 합이 0이라는 조건만으로는 편차의 제곱합을 구할 수 없습니다.

CONNECTION 07 · 개념·유형 연결

산점도에서 상위 25%의 한 축 평균

대비자료

실제 시험 · 18번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

20명 중 상위 5명을 고른 뒤 한 축의 평균을 내는 풀이가 이어집니다. 별도의 대비 0632는 80점 이상, 시험 보기 ㄴ은 80점 초과여서 경계점을 다르게 처리합니다.

풀이와 비교의 기준

‘80점 초과’에는 (80,80), (90,70)처럼 합이 160인 점을 넣지 않습니다.

CONNECTION 08 · 같은 풀이 구조

현의 중점에서 반지름 구하기

대비자료

실제 시험 · 20번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

현의 절반과 중심까지의 거리를 이용해 반지름을 구합니다. 대비는 반지름을, 시험은 반지름을 구한 뒤 원의 둘레까지 요구합니다.

풀이와 비교의 기준

그림에 그려진 호 길이가 아니라 전체 원의 둘레를 구합니다.

CONNECTION 09 · 동일한 도형 구성의 변형

직사각형 속 사분원과 접선

대비자료

실제 시험 · 23번

전체 풀이 보기 →

출제로 이어진 지점

직사각형 크기와 사분원 위치가 바뀌었습니다. 접점에서 반지름과 접선이 수직임을 이용하고, 한 점에서 그은 두 접선의 길이를 같게 놓은 뒤 피타고라스 정리로 마무리합니다.

풀이와 비교의 기준

접선이 주는 같은 길이는 EB=EF이며, 구하는 선분은 BE가 아닌 CE입니다.

처음으로 ↑

문항별 분석

문항을 직접 풀어 얻은 분석 답안입니다. 공식 정답표 대조 전이며, 이미지의 손글씨 표시를 근거로 답을 정하지 않았습니다.

Q01삼각비 · 3점

기준각에서 이웃한 변과 빗변

분석 답안 ① · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 직각이 C에 있으므로 빗변은 AB입니다.
2. 각 A에 붙은 직각변은 AC이므로 cos A=AC/AB입니다.

AC/AB

실수를 가르는 지점

기준각을 A로 고정하고, BC는 A의 맞은편 변임을 확인합니다.

Q02삼각비 · 3.1점

특수각의 값을 먼저 대입

분석 답안 ④ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. ①·②·③·⑤는 모두 1/2입니다. ②는 cos 90°=0, ⑤는 tan 30°×tan 60°=1을 이용합니다.
2. ④는 √3/2−√2/2이므로 나머지와 다릅니다.

(√3−√2)/2

실수를 가르는 지점

sin 60°와 cos 45°의 값은 다릅니다.

Q03삼각비 · 3.2점

삼각비 표의 행과 열

분석 답안 ⑤ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 62°가 적힌 행을 찾습니다.
2. 탄젠트 열과 만나는 칸을 읽으면 1.8807입니다.

tan 62°=1.8807

실수를 가르는 지점

같은 행에서 사인·코사인 열을 잘못 읽기 쉽습니다.

Q04원의 성질 · 3.3점

현의 절반으로 높이 구하기

분석 답안 ⑤ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 중심 O에서 현 AB에 내린 수선은 현을 이등분하므로 AH=4입니다.
2. OA=5인 직각삼각형 OAH에서 OH=3입니다.
3. 삼각형의 넓이는 8×3÷2=12입니다.

12

실수를 가르는 지점

넓이 공식의 높이는 반지름 5가 아니라 수선 OH입니다.

Q05원의 성질 · 3.4점

평행한 두 현의 중점

분석 답안 ③ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 두 현은 평행하므로 중심에서 내린 수선은 한 직선에 놓이고 두 현을 각각 이등분합니다.
2. EF의 중점은 A에서 2+2=4만큼 떨어져 있습니다. 따라서 GH의 중점도 B에서 4만큼 떨어져 있습니다.
3. GH=2×(4−5/4)=11/2입니다.

11/2

실수를 가르는 지점

평행한 두 현의 길이가 같은 것이 아니라, 중점의 위치를 옮겨 쓸 수 있습니다.

Q06통계 · 3.5점

중앙값과 최빈값을 함께 확인

분석 답안 ③ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 최빈값이 있으려면 a가 이미 나와 있는 1, 3, 5 중 하나여야 합니다.
2. a=1이면 중앙값은 2, a=5이면 중앙값은 4입니다.
3. a=3이면 중앙값과 최빈값이 모두 3입니다.

a=3

실수를 가르는 지점

짝수 개 자료의 중앙값은 가운데 두 값의 평균입니다.

Q07통계 · 3.5점

편차의 부호와 분산의 의미

분석 답안 ② · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 평균보다 큰 자료의 편차는 양수이고, 분산이 클수록 평균에서 더 퍼져 있으므로 ㄱ·ㄷ이 옳습니다.
2. 항상 0인 것은 편차의 합입니다. 모든 값에 같은 수를 더하면 평균도 그만큼 이동해 편차와 분산은 그대로입니다.

ㄱ, ㄷ

실수를 가르는 지점

편차의 합과 편차의 제곱합을 구분합니다.

Q08삼각비 · 3.7점

사분원 위 점을 좌표로 나타내기

분석 답안 ② · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. OA=1이므로 A의 좌표는 (cos a, sin a)입니다.
2. 직각삼각형 ODC에서 a+b=90°여서 cos a=sin b입니다.

(sin b, sin a)

실수를 가르는 지점

가로 성분을 먼저 적고, 어떤 각을 기준으로 했는지 확인합니다.

Q09삼각비 · 3.8점

직각삼각형 두 개에 공통인 변

분석 답안 ② · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 오른쪽 직각삼각형에서 빗변이 8이고 공통변은 60°에 붙은 직각변이므로 8cos 60°=4입니다.
2. 왼쪽 직각이등변삼각형에서는 이 공통변이 빗변이므로 x√2=4입니다.

x=2√2

실수를 가르는 지점

같은 선분이 오른쪽에서는 직각변, 왼쪽에서는 빗변입니다.

Q10삼각비 · 3.9점

넓이를 가장 크게 만드는 끼인각

분석 답안 ③ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. AB를 밑변으로 잡으면 높이는 C에서 직선 AB까지의 거리입니다.
2. 높이는 AC=7을 넘을 수 없고, AB⊥AC일 때 7이 됩니다.
3. 따라서 최대 넓이는 10×7÷2입니다.

35

실수를 가르는 지점

그림에 그려진 예각을 고정된 각으로 보면 최댓값을 놓칩니다.

Q11원의 성질 · 4점

두 접선과 반지름으로 넓이 검산

분석 답안 ④ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 두 접점에서 직각이므로 ∠APB=60°입니다. PA=PB이므로 △APB는 정삼각형입니다.
2. OP는 두 각을 이등분하므로 △APO에서 OA=2√3, OP=4√3입니다. 중심각이 120°인 호의 길이는 4√3π/3입니다.
3. 사각형 APBO는 넓이가 같은 두 직각삼각형으로 나뉘므로 넓이는 2×(6×2√3÷2)=12√3입니다.

옳지 않은 진술: 넓이가 10√3

실수를 가르는 지점

120°는 원의 중심각이고, P의 각은 60°입니다.

Q12원의 성질 · 4.1점

원주각이 바라보는 호를 빼기

분석 답안 ② · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. ∠ADC가 바라보는 호 ABC는 186°, ∠BEC가 바라보는 호 BC는 114°입니다.
2. 따라서 호 AB에 대한 중심각 x는 186°−114°입니다.

72°

실수를 가르는 지점

93°의 두 배는 작은 호 AC가 아니라 D를 지나지 않는 호 ABC에 대응합니다.

Q13원의 성질 · 4.2점

원주각의 비를 호의 길이 비로

분석 답안 ⑤ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. AB가 지름이므로 ∠ACB=90°입니다. ∠ABC=50°이면 ∠BAC=40°입니다.
2. 호 AC와 호 BC의 길이 비는 대응하는 원주각의 비 50:40입니다.
3. 따라서 호 BC의 길이는 6×40/50입니다.

4.8cm

실수를 가르는 지점

비례하는 것은 현이 아니라 호의 길이입니다.

Q14원의 성질 · 4.3점

내접원의 접선과 현이 이루는 각

분석 답안 ① · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 접선 EB와 현 ED의 각 67°는 ∠EFD와 같습니다.
2. AD, AF는 접선이므로 작은 호 DF의 중심각은 180°−52°=128°이고 ∠DEF=64°입니다.
3. △DEF에서 ∠FDE=49°입니다. 접선 FC와 현 FE가 이루는 각도 ∠FDE와 같습니다.

∠CFE=49°

실수를 가르는 지점

접선과 현이 이루는 각마다 대응하는 현과 원주각을 따로 표시합니다.

Q15원의 성질 · 4.4점

같은 선분을 바라보는 각 비교

분석 답안 ⑤ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. ㄱ은 교차점의 직각과 B의 35°로 ∠BAC=55°이므로 ∠BDC=60°와 다릅니다. ㄴ은 CD의 길이를 고정한 채 D를 움직이면 △ABC의 외접원을 벗어날 수 있습니다.
2. ㄷ은 교차점의 맞꼭지각 100°와 A의 60°를 이용하면 ∠ABD=40°가 되어 ∠ACD와 같습니다.
3. ㄹ은 △PBD에서 B의 외각 62°에서 P의 27°를 빼면 ∠ADB=35°로 ∠ACB와 같습니다.

ㄷ, ㄹ

실수를 가르는 지점

각의 크기만 비교하기 전에 두 각이 실제로 같은 선분을 바라보는지 봅니다.

Q16원의 성질 · 4.5점

호의 비율에서 외각까지

분석 답안 ④ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 호 BCD에 해당하는 중심각의 크기는 360°×4/9=160°입니다.
2. 원주각 ∠BAD는 그 절반인 80°입니다.
3. 원에 내접하는 사각형의 외각 ∠DCE는 맞은편 내각 ∠BAD와 같습니다.

80°

실수를 가르는 지점

호의 중심각 160°를 바로 답으로 쓰지 않습니다.

Q17통계 · 4.6점

표준편차를 제곱하여 분산으로

분석 답안 ④ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 표준편차가 √6이므로 분산은 6입니다.
2. 자료가 5개이므로 편차의 제곱합은 30입니다. 이미 알려진 편차의 제곱합은 9+4+4=17입니다.
3. 따라서 a²+b²=30−17=13입니다.

13

실수를 가르는 지점

편차의 합이 0이라는 조건만으로는 편차의 제곱합을 구할 수 없습니다.

Q18통계 · 4.7점

산점도에서 서로 다른 네 조건

분석 답안 ④ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 같은 점수는 y=x 위의 5명입니다. 평균이 80점 초과인 학생은 x+y>160인 5명으로 전체의 25%입니다.
2. 향상된 학생은 y>x인 7명입니다. 이들의 기말 점수 합은 500점이므로 평균은 500/7점으로 70점이 아닙니다.
3. 총점 상위 5명의 중간고사 점수는 80, 80, 90, 90, 100점이므로 평균은 88점입니다.

ㄱ, ㄴ, ㄹ

실수를 가르는 지점

‘80점 초과’에는 (80,80), (90,70)처럼 합이 160인 점을 넣지 않습니다.

Q19통계 · 4.8점

점들의 방향에서 양의 상관관계 읽기

분석 답안 ① · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 중간고사 점수가 높은 쪽에서 기말고사 점수도 높아지는 경향이 있습니다.
2. 같은 방향으로 움직이는 관계는 물건 구매 개수와 총 금액입니다.

양의 상관관계

실수를 가르는 지점

모든 점이 한 직선에 있지 않아도 증가 경향을 읽을 수 있습니다.

Q20원의 성질 · 5점

현의 중점과 반지름을 식으로 연결

분석 답안 ① · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. H는 현 BC의 중점이므로 BH=3입니다. 중심은 현의 수직이등분선 위에 있습니다.
2. 반지름을 r로 두면 중심에서 H까지는 r−1입니다.
3. r²=(r−1)²+3²에서 r=5이므로 원의 둘레는 10πcm입니다.

10πcm

실수를 가르는 지점

그림에 그려진 호 길이가 아니라 전체 원의 둘레를 구합니다.

Q21삼각비 · 5.1점

같은 점 E의 높이를 두 방식으로 표현

분석 답안 ③ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. D의 세 각은 각각 60°이고 ∠ABD=45°입니다. A의 높이는 AB×sin 45°=2√3입니다.
2. AD×sin 60°=2√3에서 AD=4, 주어진 비에서 CD=6입니다. A의 수선의 발에서 D까지는 2이므로 발에서 C까지는 8입니다.
3. DE=t라 두면 E의 높이는 √3t/2입니다. AC 위 높이의 비를 쓰면 √3(6−t/2)/4와 같으므로 t=12/5입니다.

DE=12/5

실수를 가르는 지점

길이비 AD:CD를 DE에 곧바로 적용하지 않습니다.

Q22원의 성질 · 5.2점

원에 내접하는 사각형의 대각

분석 답안 ⑤ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. 현의 수직이등분선, 한 점에서 그은 두 접선, 같은 원주각에 대응하는 호, 같은 길이의 현에 대한 설명은 모두 옳습니다.
2. 내접사각형에서 합이 180°가 되는 것은 이웃한 각이 아니라 마주 보는 각입니다.

옳지 않은 진술: ⑤

실수를 가르는 지점

성질을 말로 외울 때 ‘이웃한’과 ‘마주 보는’을 바꾸지 않습니다.

Q23원의 성질 · 5.3점

사분원의 접선과 피타고라스 정리

분석 답안 ④ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. AF⊥DF이므로 DF=√(4²−3²)=√7입니다.
2. B에서 BC도 접선이므로 E에서 그은 접선 길이는 EB=EF입니다. CE=x라 하면 DE=√7+4−x입니다.
3. 직각삼각형 DCE에서 (√7+4−x)²=9+x²입니다. 이를 풀면 x=√7입니다.

CE=√7

실수를 가르는 지점

접선이 주는 같은 길이는 EB=EF이며, 구하는 선분은 BE가 아닌 CE입니다.

Q24통계 · 5.4점

중앙값과 평균으로 자료 복원

분석 답안 ③ · 공식 정답표 대조 전

풀이 과정

1. a≤5이면 5 이하가 적어도 5개라 중앙값이 6일 수 없습니다. 따라서 4번째가 5이고 5번째인 a는 7입니다.
2. 전체 합 56에서 b+c=22입니다. c≥b≥7이므로 c/b는 b=c=11일 때 최소 1입니다.
3. 편차의 제곱합은 128, 자료는 8개이므로 분산은 16이고 표준편차는 4입니다.

4

실수를 가르는 지점

b=c가 주어진 합과 순서 조건에서 실제 가능한지 확인하고, 마지막에 제곱근을 취합니다.

처음으로 ↑

서답형 분석

복습할 때는 18번의 경계식, 23번의 접선 길이 관계, 24번의 중앙값 조건을 답 옆에 한 줄씩 써 보면 어느 단계에서 판단이 달라졌는지 확인할 수 있습니다.

처음으로 ↑

점수를 가른 핵심

처음으로 ↑

주요 오답과 실수

아래는 실제 학생 전체의 오답률이 아니라, 문항의 조건과 선지에서 확인한 실수 가능성입니다.

처음으로 ↑

포레스트의 지도 방향

처음으로 ↑