FOREST LAB · 수학팀 시험 분석
외심과 내심을 구별한 뒤, 여러 성질을 한 그림에 연결할 수 있었나요?
이번 시험은 공식을 외웠는지보다 그 성질이 왜 이 그림에서 쓰이는지를 묻는 문항이 눈에 띄었습니다. 이등변삼각형에서 출발해 외심·내심, 사각형의 성질과 닮음까지 이어졌고, 서술형에서는 이유를 순서대로 적는 힘이 필요했습니다.
| 구분 | 문항 수 | 배점 | 확인할 점 |
|---|---|---|---|
| 선택형 | 15문항 | 70점 | 개념 판별·계산·복합 추론 |
| 서술형 | 6문항 | 30점 | 근거와 계산 과정 |
| 합계 | 21문항 | 100점 | 9월 17일 시행 |
※ 배점은 시험지에 적힌 각 문항의 점수를 합산했습니다. 선택형 70점, 서술형 30점입니다.
| 영역 | 선택형 | 서술형 | 판단의 핵심 |
|---|---|---|---|
| 삼각형의 성질 | 1~7번 | 3·4번 | 합동, 이등변, 외심·내심의 근거 연결 |
| 사각형의 성질 | 8~13번 | 2·5·6번 | 평행사변형의 조건, 도형의 포함 관계, 보조선 |
| 도형의 닮음 | 14~15번 | 1번 | 길이·넓이·부피의 비 구분 |
※ 서술형 3번은 삼각형의 내심과 외심을 함께 사용합니다. 서술형 1번에는 도형의 넓이 비교가 포함됩니다. 위 표는 풀이의 중심 개념에 따른 분류입니다.
선택형 4~5번은 외심에서 꼭짓점까지의 거리가 같다는 사실을 각도 계산에 연결합니다. 예를 들어 OA=OC라면 △AOC는 이등변삼각형이므로 밑각이 같습니다. 숫자를 바로 대입하기 전에 어느 두 선분이 같은지 표시해야 각의 출처가 보입니다.
내심을 다룬 6~7번과 서술형 3·4번은 다른 판단을 요구합니다. 내심은 세 내각의 이등분선이 만나는 점이며, 세 변까지의 수선거리가 같습니다. 외심의 ‘꼭짓점까지 같은 거리’와 섞으면 등식의 대상 자체가 바뀝니다. 서술형 3번처럼 두 점이 함께 등장하면 각각의 정의를 분리해 적고, 필요한 각만 이어 계산해야 합니다.
FOREST LAB 자체 제작 예시 · 원문항 재현 아님
예시 문제 △ABC의 외심 O에 대하여 OA=OC이고 ∠OAC=38°이다. ∠AOC는?
풀이 방향 OA=OC → △AOC의 밑각 ∠OAC=∠ACO=38° → ∠AOC=180°−38°−38°=104°. ‘외심이라서 104°’가 아니라, 외심의 등거리 성질로 이등변삼각형을 만든다는 연결이 핵심입니다.
선택형 8~12번은 평행사변형의 대각선 이등분, 성립 조건, 각의 관계와 여러 사각형의 포함 관계를 연속해서 확인합니다. ‘마름모는 평행사변형이다’는 참이지만 그 역은 일반적으로 거짓입니다. ‘정사각형은 마름모이면서 직사각형이다’처럼 정의가 요구하는 조건을 모두 충족하는지 확인해야 합니다.
선택형 13번과 서술형 2·5·6번은 보조선이나 겹쳐진 도형을 해석해야 합니다. 서술형 2번은 직사각형 대각선이 만나는 각을, 5번은 사각형이 마름모라는 조건을 다른 삼각형의 성질과 함께 활용합니다. 6번은 직사각형을 접은 뒤 생긴 각과 평행선을 순서대로 추적해야 하므로, 원래 도형의 직각과 접어서 대응하는 각을 먼저 표시하는 것이 안정적입니다.
FOREST LAB 자체 제작 예시 · 원문항 재현 아님
예시 문제 ‘두 대각선의 길이가 같은 사각형은 언제나 직사각형이다’는 참일까요?
풀이 방향 거짓입니다. 대각선의 길이만 같은 이등변사다리꼴도 만들 수 있습니다. 먼저 ‘평행사변형’이라는 조건이 확보되어야 그 대각선의 길이가 같을 때 직사각형으로 판단할 수 있습니다. 조건을 하나 생략한 문장을 반례로 검사하는 연습이 9·12번 유형에 유효합니다.
선택형 14번은 대응하는 길이의 비를 먼저 확인해 넓이비를 제곱해야 합니다. 15번은 평행한 단면으로 잘린 입체에서 꼭짓점부터 단면까지와 전체 높이의 비를 잡고, 닮은 입체의 부피비에 세제곱을 적용해야 합니다. 길이 k : 넓이 k² : 부피 k³를 외우는 것만큼 어떤 두 도형이 닮았는지를 정확히 지정하는 일이 중요합니다.
FOREST LAB 자체 제작 예시 · 원문항 재현 아님
예시 문제 닮은 두 각뿔의 대응 높이가 2:5이고 작은 각뿔의 부피가 16㎤라면 큰 각뿔의 부피는?
풀이 방향 높이비 2:5는 길이비이므로 부피비는 2³:5³=8:125입니다. 큰 각뿔의 부피는 16×125÷8=250㎤입니다.
CASE 01 · 연습 53번 ↔ 서술형 3번
학원에서 다룬 이등변삼각형의 밑각, 내심의 각 이등분, 외심의 등거리 성질을 한 그림에서 연결하는 훈련이 시험의 서술형 3번과 같은 사고 흐름으로 이어졌습니다. 수치와 배치는 다르므로 답을 기억하는 방식이 아니라 ‘같은 각을 표시 → 이등변삼각형을 찾기 → 요구한 각으로 연결’하는 순서를 옮겨야 했습니다.
CASE 02 · 연습 113번 ↔ 선택형 12번
여러 사각형의 포함 관계를 판단하는 연습입니다. 학교 문항에서는 여러 진술 중 옳은 것을 모두 고르게 했습니다. 각 문장을 도형의 정의로 확인하고, 역이 성립하지 않으면 구체적인 반례를 떠올리는 방식이 유효했습니다.
CASE 03 · 교재 44번 ↔ 서술형 2번 / CASE 04 · 유사·오답 22번 ↔ 선택형 15번
직사각형 대각선의 각을 읽는 과정과 닮은 입체의 부피비를 잡는 과정이 각각 대응됩니다. 그대로 같은 문제라는 뜻은 아닙니다. 풀이 첫 줄에 어느 성질을 쓸지 선언하고, 마지막 줄까지 그 근거를 유지하는 연습이 점수로 연결됩니다.
이번 시험은 개념을 알고 있어도 그 개념을 정확한 위치에 놓는 능력이 필요했습니다. FOREST LAB 수학팀은 학생별로 오답이 발생한 첫 판단 지점을 찾아, 같은 구조의 새 문항에 스스로 적용할 수 있게 다시 훈련하겠습니다.
분석 기준: 2026. 9. 17. 오성중학교 2학년 수학 시험. 위의 예시 문제는 이해를 돕기 위해 새로 작성했으며 학생이 작성한 실제 시험지 이미지는 게시하지 않았습니다.
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