2026 오성고2
2학기 1회고사 기하 분석

직선과 평면의 수직·평행

풀이 · 직선 AB에 수직인 면은 양 끝 방향의 2개 면이고, AB와 만나지 않으면서 평행한 면도 2개입니다. 따라서 a+b=4입니다.

실수 지점 · 직선을 포함하는 평면과 직선에 평행한 평면을 구분해야 합니다.

포물선의 초점거리

풀이 · y²=18x에서 p=9/2입니다. 포물선의 정의로 PF=x+p=6이므로 x=3/2입니다.

실수 지점 · 계수 18을 4로 나누고, 초점까지의 거리를 준선까지의 거리로 바꾸는 순서입니다.

수직인 두 점근선

풀이 · 초점이 (0,±2)이므로 y축 방향으로 열린 쌍곡선입니다. 두 점근선이 수직이면 두 분모가 같고, 그 합이 c²=4이므로 각각 2입니다.

실수 지점 · 오른쪽이 1인지 −1인지에 따라 열린 방향이 달라집니다.

원기둥의 단면 타원

풀이 · 밑면 반지름 2, 자르는 평면과 밑면의 각 45°이므로 단면 타원의 단반지름은 2, 장반지름은 2/cos45°=2√2입니다. c²=8−4=4에서 초점 사이는 2c=4입니다.

실수 지점 · 원의 반지름, 타원의 반축 길이, 초점 사이 거리 2c를 구분합니다.

타원 궤도의 최단·최장거리

풀이 · 한 초점에서 타원의 장축 양 끝까지의 거리가 1과 59이므로 a−c=1, a+c=59입니다. a=30, c=29, b²=900−841=59입니다.

실수 지점 · 묻는 것은 단축 전체 길이이므로 b가 아니라 2b입니다.

평행이동한 쌍곡선과 점근선

풀이 · 두 점근선의 교점은 (1,2)입니다. 중심을 옮겨 (y−2)²/4−(x−1)²=1로 정리할 수 있고, c²=4+1=5입니다.

실수 지점 · 초점 사이의 거리는 2c입니다. 중심을 먼저 찾으면 일차항이 있는 식을 무리하게 전개하지 않아도 됩니다.

평행이동한 타원의 y축 교점

풀이 · 두 초점 (8,2), (−2,2)의 중점은 (3,2), c=5입니다. 단축 길이 10에서 b=5이고 a²=50입니다. x=0을 대입하면 (y−2)²=41/2입니다.

실수 지점 · 두 교점의 y좌표를 각각 구한 뒤 차를 구하면 2√(41/2)=√82입니다.

중심이 원점이 아닌 쌍곡선의 점근선

풀이 · 중심 (2,1), 초점 (5,1)에서 c=3이고 주축 길이 4에서 a=2입니다. b²=9−4=5이므로 점근선은 y−1=±(√5/2)(x−2)입니다.

실수 지점 · 기울기만 맞는 식을 고르면 안 됩니다. 중심 (2,1)을 지나는지도 확인합니다.

초점이 다른 포물선 위에 있는 조건

풀이 · (y−a)²=8(x−4a)의 초점은 (4a+2,a)입니다. 이것이 y²=4x 위에 있으므로 a²=16a+8, 즉 a²−16a−8=0입니다.

실수 지점 · 묻는 것은 가능한 a값의 곱이므로 근과 계수의 관계로 −8을 구합니다.

정사면체의 이면각

풀이 · 이웃한 두 면의 교선에 각각 수직인 선을 잡으면 이면각을 평면의 각으로 바꿀 수 있습니다. 정사면체에서는 cosθ=1/3이므로 sinθ=√(1−1/9)=2√2/3입니다.

실수 지점 · 정삼각형의 각 60°와 두 면 사이의 각은 다릅니다.

정사각뿔의 내분점과 두 직선의 각

풀이 · 실제 발문은 직선 OB와 직선 PQ의 각을 묻습니다. 두 내분점의 위치를 정하고 PQ와 평행한 선을 옮겨 같은 평면에서 각을 잡아야 합니다. 한 모서리를 6으로 두면 OB=6, PQ=3√5이고, 길이 관계로 cosθ=3√5/10을 얻습니다.

실수 지점 · OP의 방향으로 바꾸어 읽거나 내분 순서를 뒤집지 않도록 주의합니다.

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완전제곱과 초점 좌표

풀이 · x²+4x+4y+a+3=0을 (x+2)²=−4(y+(a−1)/4)로 바꾸면 초점은 (−2,−(a+3)/4)입니다. 초점의 y좌표가 1/4이므로 a=−4이고 x좌표는 −2입니다.

실수 지점 · 요구한 두 상수의 차는 −4−(−2)=−2입니다. 꼭짓점과 초점은 한 단위 차이납니다.

타원과 쌍곡선의 정의 결합

풀이 · AF=4에서 c−a=4입니다. PF′=FF′=2c, PF′−PF=2a를 쓰고 PA=PF를 함께 적용하면 c=2a입니다. 따라서 a=4, c=8, PF=8, PF′=16입니다.

실수 지점 · 타원의 장축 길이는 PF+PF′=24입니다. 두 곡선의 초점이 같다는 점을 먼저 활용합니다.

초점거리와 코사인법칙

풀이 · 타원의 장반지름 8에서 두 초점거리의 합은 16이고, 차가 4이므로 두 거리는 10과 6입니다. 끼인각의 cos가 2/3이므로 (2c)²=10²+6²−2×10×6×(2/3)=56입니다.

실수 지점 · c²=14, k=64−14=50입니다. 거리의 합·차를 먼저 풀면 좌표 계산을 줄일 수 있습니다.

대칭점과 타원의 접선

풀이 · 타원의 정의와 y축 대칭으로 AF+BF=10입니다. △FAB의 둘레 16에서 AB=6이므로 A의 x좌표는 3입니다. 타원 식에 대입하면 A=(3,8/5)입니다.

실수 지점 · 접선은 (3/25)x+(2/5)y=1이므로 y절편은 5/2입니다. A의 y좌표와 접선의 y절편을 구분합니다.

두 곡선의 거리 조건을 함께 사용

풀이 · P가 y축 위에 있으므로 그림의 A와 B는 좌우 대칭이고 PA=PB=10입니다. A,B를 초점으로 하는 타원이 F를 지나므로 AF+BF=20입니다. 쌍곡선의 주축 길이는 8이므로 BF−AF=8입니다.

실수 지점 · AF=6이고, P,A,F의 순서에 따라 PF=PA+AF=16입니다. 복잡한 그림에서도 거리의 합과 차를 먼저 정리합니다.

쌍곡선의 정의로 계수 결정

ax²−y²=−b를 y²/b−x²/(b/a)=1로 읽습니다. 초점거리의 차가 4이므로 y²의 분모 b=4입니다. 초점이 (0,±4)이므로 c²=16=4+b/a이고, b/a=12입니다.

기울기의 근과 계수

접선 y=mx+p/m에 (2,0)을 대입하면 2m²+p=0입니다. 두 기울기의 곱 p/2=−1/4이므로 p=−1/2이고, 초점은 (p,0)입니다.

공간의 수선을 삼각형의 높이로

LD=5이고, M을 윗면으로 옮긴 점에서 LD까지의 거리는 8/5입니다. 삼수선 관계와 높이 4를 이용해 MN=√(4²+(8/5)²)=4√29/5입니다. 따라서 △DLM=(1/2)×5×4√29/5=2√29입니다.

두 포물선의 초점 일치

(y−3)²=−8(x+2)에서 초점은 (−4,3)입니다. (x+4)²=4(y−(a−1)/4)에서 초점은 (−4,(a−1)/4+1)입니다. 3=(a−1)/4+1을 풀어 a=9를 얻습니다.

정사영 넓이의 비로 이면각

PQ=PR=√10, QR=3√2입니다. 이등변삼각형의 높이는 √(11/2), 넓이는 3√11/2입니다. 밑면으로의 정사영 넓이 3/2를 나누면 cosθ=1/√11이고, θ가 예각이므로 sinθ=√110/11입니다.

거리의 합·차에서 접점과 기울기

쌍곡선을 y²/4−x²/12=1로 읽으면 c=4입니다. PF=α, PF′=β라 두면 둘레 20에서 α+β=12이고, 제2사분면 조건에서 β−α=4이므로 α=4, β=8입니다. 두 거리식을 이용하면 P=(−√15,3)입니다. 이 점의 접선은 −√15·x/12−3y/4=−1이므로 기울기는 −√15/9입니다.

반지름·축·초점 사이 거리를 섞음

a, b, c는 반축과 중심에서 초점까지의 거리이고, 장축·단축·두 초점 사이 거리는 각각 두 배입니다. 선택형 4~7번은 마지막에 어떤 길이를 묻는지 다시 확인해야 합니다.

원점 중심의 공식을 그대로 적용

선택형 6·7·8·12번과 서답형 4번은 중심 또는 꼭짓점이 옮겨져 있습니다. 완전제곱 뒤 괄호 안의 부호와 실제 이동 방향을 구분합니다.

합과 차, 물음의 대상을 바꿈

선택형 9번은 가능한 값의 곱, 11번은 OB와 PQ의 각, 서답형 3번은 넓이, 5번은 sin을 묻습니다. 계산이 맞아도 다른 대상을 답하면 끝까지 풀지 못한 것입니다.

그림의 수직 관계를 근거 없이 사용

공간도형은 보기 좋은 선이 곧 높이가 되는 것이 아닙니다. 어느 평면에 수직인지, 투영한 선이 무엇인지, 삼수선 정리를 어디에 쓰는지 표시해야 합니다.

서술형에서 최종 숫자만 남김

서답형 4~6번의 학교 기준은 중간 식을 나누어 평가합니다. 반면 단답형 1~3번은 부분점수가 없으므로 마지막 부호·좌표·형태를 반드시 검산해야 합니다.